Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得 ，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）正方形中，侧棱底面，以为轴建立坐标系，求出，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，则 为平面的法向量，结合（Ⅱ），由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（Ⅰ）因为底面底面 ，

所以，正方形中, ，

又因为， 所以平面，

因为平面，所以．

（Ⅱ）正方形中，侧棱底面.

如图建立空间直角坐标系，不妨设.

依题意，则，所以 .

设平面的法向量，

因为，所以，

令，得 ，即，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为 ；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以 为平面的法向量，

因为， 且二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为 ．