Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E :的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点.

(1)求椭圆E 的标准方程；

(2)已知图中四边形ABCD 是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P .①若M，N分别是BC，CD的中点，证明:点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明:为定值，并求出该定值.

Answer

(1) ；(2)①证明见解析；②证明见解析

【解析】

（1）由求得,进而求得椭圆的方程；

（2）①分别求得,坐标,再求得直线与直线方程,即可求得交点坐标,进而得证；②分别设直线的方程为,直线的方程为,求得点,坐标,则,利用斜率公式求证即可

（1）由题,,则,所以,

所以椭圆的标准方程为：

（2）证明：①由（1）可得,,

因为,且四边形是矩形,

所以,,

因为点分别是的中点,

所以,,

则直线为：,即,

直线为：,即,

所以,解得,即

因为,

所以点在椭圆上

②设直线的方程为,

令,得,

设直线的方程为,

令,得,

,

设,则,

,