Question

设函数，其中e为自然对数的底数.

（1）当a＝0时，求函数f (x)的单调减区间；

（2）已知函数f (x)的导函数f (x)有三个零点x₁，x₂，x₃(x₁  x₂  x₃).①求a的取值范围；②若m₁，m₂(m₁  m₂)是函数f (x)的两个零点，证明：x₁m₁x₁ 1.

Answer

（1）；（2）①②证明见解析

【解析】

（1）当时,,令,即可求得单调减区间；

（2）①,令,将有三个零点转化为有三个零点,对求导,可得的单调性,进而得到的范围；

②将有两个零点转化为方程有两个零点,则可得,,进而得到,,从而得证

（1）当时,,

,

令,可得,

的单调减区间为

（2）①由题,,

,,设,

是的三个零点,

,

当时,,则单调递减,不符合条件；

当时,令,则,

在,单调递增,在,单调递减,

,

,即,

,

②是的两个零点,令,则方程的两根分别为,

,

,,,即,,

由①,

,

又,

,即,

故