Question

已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，，

【解析】

（Ⅰ）设，，根据点，都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.

（Ⅱ）设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，从而求出直线的方程，再由过点与垂直的直线为，求出，两方程联立，消去，即可求解.

（Ⅰ）由题可知，直线的斜率存在.

设，，由于点，都在椭圆上，

所以①，②，

①-②，化简得③

又因为离心率为，所以.

又因为直线过焦点，线段的中点为，

所以，，，

代入③式，得，解得.

再结合，解得，，

故所求椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，，

又过点且与椭圆只有一个公共点，所以，

所以：，④

因为过点且与垂直，所以：，⑤

联立④⑤，消去，得，

又，所以，从而可得，

所以与的交点在定直线上.