Question

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析，理由见解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论的取值范围；当时，当时，分析的正负即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论是否在区间内，利用函数的单调性求出函数的最值，使即可解不等式即可.

（Ⅲ）法一：设切点为，求出切线方程，从而可得，令，讨论的取值范围，分析函数的的单调性以及在上的零点即可求解；

法二：设切点为，求出切线方程，从而可得，分离参数可得，令，讨论的单调性求出函数的值域，根据值域确定的范围即可求解.

（Ⅰ）函数的定义域为，.

（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；

（2）当时，令，得.

当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为.

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，

所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；

（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，

所以.

依题意有，解得，所以.

（3）当时，即时，在区间上为减函数，

所以.

依题意有，解得，所以.

综上所述，当时，函数在区间上恒大于零.

另【解析】
当时，显然恒成立.

当时，恒成立恒成立的最大值.

令，则，易知在上单调递增，

所以最大值为，此时应有.

综上，的取值范围是.

（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，

切线方程为.

因为切线过点，则.

即.①

令，则.

（1）当时，在区间上，，单调递增；

在区间上，，单调递减，

所以函数的最大值为.

故方程无解，即不存在满足①式.

因此当时，切线的条数为0.

（2）当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，

所以函数的最小值为.

取，则.

故在上存在唯一零点.

取，则.

设，，则.

当时，恒成立.

所以在单调递增，恒成立.

所以.

故在上存在唯一零点.

因此当时，过点存在两条切线.

（3）当时，，显然不存在过点的切线.

综上所述，当时，过点存在两条切线；

当时，不存在过点的切线.

另【解析】
设切点为，则切线斜率，

切线方程为.

因为切线过点，则，

即.

当时，无解.

当时，，

令，则，

易知当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

又，且，

故当时有两条切线，当时无切线，

即当时有两条切线，当时无切线.

综上所述，时有两条切线，时无切线.