Question

过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.

（1）求抛物线的方程；

（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设点、，由题意可得直线的方程为，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦公式求出的值，即可得出抛物线的方程；

（2）可得出直线的方程为，由点在抛物线上可得出，然后利用二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最大值，由此可得出面积的最大值.

（1）抛物线的焦点为，直线的方程为．

设、．由，得．

，，

故，所以，

因此抛物线的方程为；

（2）由（1）得的方程为.

到直线的距离为.

因，所以，

所以，

因此，所以面积的最大值为.