Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，证明：.

Answer

（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，对实数分和两种情况讨论，分析导数在区间上符号的变化，由此可得出函数的单调区间；

（2）证法一：构造函数，其中，利用导数分析得知函数在区间上为减函数，由可得出；

证法二：分和时，在时，由函数在上的单调性可得出，在时，由（1）中的结论，结合可证明出，综合得出结论.

（1）函数的定义域为，，

若时，则，此时在单调递减，

若时，则由得，

当时，，函数在单调递减，

当时，，函数在单调递增，

综上所述，当时，在单调递减；若时，在单调递减，在单调递增；

（2）证法一：设，

，

，

所以在上为减函数，又，所以，

即，即；

证法二：由（1）得，当时，在单调递减，

因，所以，

当时，在单调递减.

因为，所以，

又因为，所以，所以.

综上所述，.