Question

在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值.

（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A₁、B₁，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由.

Answer

（1）；（2）m=1；（3）是，理由见解析.

【解析】

（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程；（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m；

（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值；

法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得.由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值.

（1）设P（x，y），

∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，

∴由题意，，化简得3x2+4y2=12，

∴动点P的轨迹C的方程为；

（2）设N（x，y），则

，﹣2≤x≤2.

①当0＜4m≤2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，

解得，，此时，故舍去.

②当4m＞2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，

解得m=1，或m=3（舍）.

综上，m=1.

（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由，得，，

∵点A、B在椭圆C上，∴，，

∴，化简得.

①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，

由，得，解得，，

.

②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，

直线AB的方程为，

原点O到直线AB的距离为

∴△AOB的面积，

根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，

∴

=，∴.

∴四边形ABA1B1的面积为定值.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），

由，得，

∵点A、B在椭圆C上，所以，，

∴，化简得.

直线OA的方程为y1x﹣x1y=0，点B到直线OA的距离，

△ABA1的面积，

根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，

∴

=，∴.

∴四边形ABA1B1的面积为定值.