Question

设复数，其中x_ny_n∈R，n∈N^*，i为虚数单位，，z₁=3+4i，复数z_n在复平面上对应的点为Z_n.

（1）求复数z₂，z₃，z₄的值；

（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；

（3）求数列的前项之和.

Answer

（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102

【解析】

（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4；

（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可；

（3）通过，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解数列的和即可.

（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，，.

（2）若，则存在实数λ，使得，故，

即（xn，yn）=λ（x1，y1），

又zn+1=（1+i）zn，故，即为实数，

，，故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；

（3）因为，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以xn+4yn+4=16xnyn，

又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，

x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100

=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）

=，

而，，

所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.