Question

已知抛物线，准线方程为，直线过定点（）且与抛物线交于、两点，为坐标原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）当时，设，记，求的解析式.

Answer

（1）；（2）是定值，此定值为；（3）（）.

【解析】

（1）根据准线方程便可得到，从而可以求出，这便得到抛物线方程为；

（2）可设，，，，可得到直线方程，联立抛物线方程并消去得到，从而得到，这样即可得到，根据题意知为定值，即得出为定值，定值为；

（3）可得到，可设，根据条件便可得到，而根据点在抛物线上便可得到，而又是抛物线的焦点，从而有，带入，的纵坐标及便可得出的解析式．

（1）由题意，，，故抛物线方程为.

（2）设，，直线，

则，

于是，，

因为点是定点，所以是定值，所以是定值，此定值为；

（3），设，则，

，故，

因为点在抛物线上，所以，得.

又为抛物线的焦点，故

，即（）.