Question

对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭.如果函数在上封闭，那么实数的取值范围是______.

Answer

【解析】

先用定义证明函数在上递增,再根据奇偶性可得函数在上为增函数,然后讨论和可得的单调性,当时,依题意可得是的两个不同的实数解,由此可解得.当时,依题意可得,由此可推出.

.设,则,

因为,所以,

所以函数在上递增,

又函数为奇函数,所以函数在上为增函数,

当时,函数为增函数, 因为在上的值域也是,所以,即,

即是的两个不同的实数解,解得或,

由得,

当时,为递减函数, 因为在上的值域也是,所以,即 ,

因为,所以,

所以,所以,因为,所以,即,

所以,所以,即.

综上所述:或.

故答案为: .