Question

如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？

（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．

Answer

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°（2）不能实现要求，详见解析

【解析】

（1）当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．

（2）当时，设剩余的液面为，比较与60°的大小后发现在上，计算此时倒出的液体体积，比小，从而得出结论．

（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．

解法一：此时，梯形的面积等于，

因为，所以，，

即，解得，．

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．

③

解法二：此时，的面积等于图①中没有液体部分的面积，即，

因为，所以

，即，

解得，．

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．

（2）如图④，当时，设上液面为，因为，所以点F在线段上，

④

此时，，,

剩余溶液的体积为，

由题意，原来溶液的体积为，

因为，所以倒出的溶液不满．

所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．