Question

在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若轨迹上的动点到定点的距离的最小值为1，求的值；

（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由

Answer

（1）；（2）；（3）是定值，面积

【解析】

（1）由两点间距离公式和点到直线距离公式即可求出动点的轨迹的方程;

（2）利用两点间距离公式能求出.讨论在和,取得最小值为1时,其对应的是否在,即可得出答案.

（3）设, ,由,得,由点,在椭圆上,得,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性,结合已知条件能即可求出出四边形面积的定值.

（1）设

∵动点到定点的距离与到定直线的距离之比为

∴

化简得:

动点的轨迹的方程为:

（2）设

由两点间距离公式得:

①当,即时,

时,取得最小值 解得: 即

此时 ,故舍去.

②当 即:时

时, 取得最小值 解得:,(舍去)

综上所述: .

（3）设,

整理可得:

点,在椭圆上

,

化简可得:

直线的直线方程为

点到直线的距离

的面积:

四边形的面积为定值