Question

如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM＝x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x＝时，四边形MENF的面积最小；

③四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；

④四棱锥C′﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数；

以上命题中假命题的序号为（　　）

A.①④ B.② C.③ D.③④

Answer

C

【解析】

①利用面面垂直的判定定理去证明平面；②四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可；③判断周长的变化情况；④求出四棱锥的体积，进行判断．

①连结，，则由正方体的性质可知，平面，所以平面平面，所以①正确；②连结，因为平面，所以，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小，所以②正确；③因为，所以四边形是菱形，当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，所以函数不单调，所以③错误；④连结，，，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以为底，以，分别为顶点的两个小棱锥，因为三角形的面积是个常数，，到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确，所以四个命题中③假命题，所以选C．