Question

据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k（k>0）．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）.

（1）试将y表示为x的函数；  

（2）若a=1，且x=6时，y取得最小值，试求b的值．

Answer

（1），；（2）

【解析】

（1）根据，得，分别求出两个污染指数即可得出函数关系；

（2）利用导函数讨论函数的单调性，在x=6时，函数取得极小值也是最小值，即可求解.

由题设，点受到处的污染指数，

受到处的污染指数，其中

所以点的污染指数，；

（2）若a=1，，

，

由题：且x=6时，y取得最小值，必是极小值，所以，

解得：

此时

，

当时，，函数递减，当时，，函数递增，

所以在x=6时，y取得极小值，也是的最小值，

所以.