Question

定圆,动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）设点在上运动,与关于原点对称，且,当的面积最小时, 求直线的方程.

Answer

（1）轨迹的方程为；（2）直线的方程为或．

【解析】

试题（1）由已知条件得圆内切于圆，即，∴点的轨迹为椭圆，且，∴，所以轨迹的方程可求；（2）分类讨论，直线方程为，与椭圆方程联立得、，所以，由基本不等式求最值，即可求出直线的方程．

试题解析：（1）∵在圆内，∴圆内切于圆．

∵，∴点的轨迹为椭圆，且，∴

∴轨迹的方程为．

（2）①当为长轴（或短轴）时，此时．

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为，

联立方程得，∴．

将上式中的替换为，得．

．

∵，

当且仅当，即时等号成立，此时面积最小值是．

∵，∴面积最小值是，此时直线的方程为或．