Question

正整数数列满足：，

（1）写出数列的前5项；

（2）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列，试用表示（不必证明）；

（3）求最小的正整数，使．

Answer

（1）前五项为，，，，；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据递推关系令依次求出前五项；

（2）依次写出部分项，观察规律归纳结果，加以分析其正确性；

（3）根据（2）的结论求出，再把转化为进行分类讨论，验证其与2013的大小关系，直到求解得出出具体值.

（1）由题：，，

，，

，，

，，

，

所以前五项为，，，，；

（2）由题

，

归纳，

显然当时，结论成立，

假设已有，显然，

则，

，

，

，

…

可以归纳：，

故当时，

因此成立；

（3）由（2）

所以，

即是以3为首项，3为公比的等比数列，

，，

由可知：

当时，，

因此当时，；

当时，或，即不能使成立，

考虑时：

由（2）

则解得，则，

所以，

所以使的最小的正整数，