Question

如图，在长方体中，，是上一点，，设.

（1）求的值；

（2）设，，的截面交于.

①求证:；

②设，截面将长方体分成两部分，记含点部分体积为，求.

Answer

（1），（2）①证明见解析，②

【解析】

（1）连结，根据条件可得，进而得到，通过计算可得的值；

（2）①通过面面平行的性质定理进行证明即可；②由题可得长方体被截面截得含部分为三棱台，利用棱台的体积公式计算即可．

（1）连结，由条件知，，

故平面，

∴.

在矩形中，如图：

当时，

，

∴，

解得：，

∴，

故.

（2）①∵平面平面，

平面平面，

平面平面，

∴

②不妨设，

从而平面平面，

又平面平面，

∴.

可知长方体被截面截得含部分为三棱台，

∵，

∴，

，

，

∴．