Question

已知圆与抛物线有一条斜率为1的公共切线.

（1）求.

（2）设与抛物线切于点，作点关于轴的对称点，在区域内过作两条关于直线对称的抛物线的弦，.连接.

①求证：；

②设面积为，求的最大值.

Answer

（1），（2）①证明见解析，②

【解析】

（1）设切线为，其与圆相切，列方程可得可得的值，又与抛物线相切，与抛物线联立，，结合，可求出的值；

（2）①由（1）可得切点为，故，设直线方程为，点，代入点的坐标可得利用与关于对称得到，联立与抛物线方程，结合韦达定理，可得，即可证明；②求出以及到的距离，表示出，利用导数求其最值即可．

（1）设切线为.

∵直线与圆相切

∴，

解得或，

联立，

得，

由，得.

结合可知：，；

（2）①由上述方程知直线与抛物线的切点为，故，

设直线方程为，点

∴①

∵与关于对称

∴

即：②

联立与抛物线方程，

，化简整理得：

∴，，，

代入②式整理得，

∴ ；

②由①知，方程为，

结合条件及可知，

又

到的距离

∴.

考虑其中，

，

当时，，

此时的最大值为：