Question

如图，已知四棱锥，是梯形，，，，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，则，连接，先证明，再证明平面，最后得出结论；

（Ⅱ）分别延长交于，过作与点，连接，为所求的二面角的平面角，在中，求出结果即可．

（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接PO，则，连接OC，

在直角梯形ABCD中，易知，，，

所以，

由，，所以，所以，

又，所以平面ABCD，

又PO在平面PAD内，故平面平面ABCD；

（Ⅱ）如图，分别延长，交于，过作与点，连接,，

，，，所以，由平面平面ABCD，

所以平面，

结合（Ⅰ），则为所求的二面角的平面角，，

由，

在三角形PDE中，由，，

所以，则，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．