Question

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；

（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

（1）由题意设出双曲线的标准方程，根据渐近线方程和间的关系求出后可得所求方程；或根据渐近线方程设双曲线方程为，然后由题意求出后得到所求．（2）根据题意设双曲线的方程为，代入点的坐标求出后可得所求方程．

（1）方法1：椭圆方程可化为，焦点坐标为，

故可设双曲线的方程为，其渐近线方程为，

则，

又，

所以可得，，

所以所求双曲线的标准方程为．

方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为．

故可设双曲线的方程为，即，

因为双曲线与椭圆共焦点，

所以，

即，

解得，

所以所求双曲线的标准方程为．

（2）由题意可设所求双曲线方程为，

因为点在双曲线上，

∴，解得，

所以所求双曲线的标准方程为．