Question

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，，，，.

（1）求证：平面FBC；

（2）线段ED上是否存在点Q，使平面平面QBC？证明你的结论.

Answer

（1）证明见解析（2）线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC,证明见解析

【解析】

（1）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得，再利用已知和线面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量是否垂直来判断即可.

【解析】
（1）证明：，，

在中，由余弦定理可得，

，.

.

又，，

平面FBC.

（2）线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC.

证明如下：

因为平面FBC，所以.

因为，所以平面ABCD.

所以CA，CF，CB两两互相垂直，

如图建立的空间直角坐标系.

在等腰梯形ABCD中，可得.

设，所以，，，，.

所以，，.

设平面EAC的法向量为，则，

所以，取，得.

假设线段ED上存在点Q，设，

所以.

设平面QBC的法向量为，则，

所以，

取，得.

要使平面平面QBC，只需，

即，此方程无解.

所以线段ED上不存在点Q，使平面平面QBC.