Question

已知圆心在轴上的圆经过点，截直线所得弦长为，直线.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆相交于、两点，当为何值时，的面积最大.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据圆心在轴上设出圆的方程,将点带入,结合垂径定理即可得关于和的方程组,解方程组求出和即可得圆的方程.

（2）先利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离的表达式,再由垂径定理表示的长度,即可表示出的面积,结合基本不等式即可求得当面积取最大值时的值.

（1）设圆的方程为：,

把代入得,①

又∵圆截直线所得弦长为

∴②

联立①②解得,

∴圆方程为：

（2）圆心到直线的距离

由

此时即时等号成立

解得或

则当或时的面积最大.