Question

如图所示，在五棱锥中，侧面底面，是边长为2的正三角形，四边形为正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）证明线面平行，转化为线线平行．取中点，中点，连接，即可．（2）求二面角的余弦值，以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系即可．

（Ⅰ）取中点，中点，连接，，易知，，，四点共线.

由，且，可知为等腰直角三角形，所以.

因为是正方形的中心，所以.

所以，所以.又是的重心，所以.

所以，故.又因为平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）解法一：因为为中点，是正三角形，所以.

因为侧面底面，且交线为，所以底面.所以直线，，两两垂直.

如图，以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

则，，，.所以，，.

设平面的法向量为，

则令，则.

设平面的法向量为，

则，令，则.

所以.

结合图可知，二面角的余弦值为.

解法二：取，中点分别为，，连接，，则.

又侧面底面，，侧面底面，所以平面.

又平面，所以，所以.

又，，所以，所以.

所以为二面角的平面角.

易知，所以.因为，，

所以，所以.

即二面角的余弦值为.