Question

已知椭圆C： =1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x₀，y₀）的“伴随点”为．

（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；

（2）如果椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求的取值范围；

（3）当a=2，b=时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．

Answer

（1）x2+y2=1，（2），（3）

【解析】

(1)由代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得
（3）求得椭圆方程，设方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得的面积，直线的斜率不存在时，设方程为，代入椭圆方程，即可求得的面积．

(1)设，由题意，则 .

又，所以

.

(2)由椭圆C上的点（1，）的“伴随点”为（，）

则，得，又,则.

点，在椭圆上，，，且

由于，的取值范围是.

(3)设，则

当直线的斜率存在时，设其方程为，由 .

得 .

则

①

由以为直径的圆经过坐标原点可得:,即.

又

整理得： ②

将①代入②得：

，则，

所以.

又点到直线的距离

所以

当直线的斜率不存在时，设其方程为

联立椭圆方程得 ，得.

解得：，从而.

综上：的面积是定值.