Question

如图，在四面体中，点分别是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：四边形为矩形；

（Ⅲ）是否存在点，到四面体六条棱的中点 的距离相等？说明理由．

Answer

略

【解析】

：证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC．又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP．

（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF．所以四边形DEFG为平行四边形，

又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．

（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN．

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，

且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.