Question

如图所示，在三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且．

（I）证明：平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer

（I）证明见解析；（II）．

【解析】

（I）根据平面并结合的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；

（II）建立空间直角坐标系，求解出平面的一个法向量，写出平面的一个法向量，计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角是钝角还是锐角，从而计算出二面角的余弦值.

（I）

证明：因为平面，平面，

所以．

由得为等腰直角三角形，

故，

又，且面，面，

故平面．

（II）

如图，以点为原点，分别以的方向分别为轴，轴，轴的正方向，

建立直角坐标系，

，

设平面的法向量为，则，

即，

令，则，故可取．

由（I）可知平面，故平面的法向量可取为，

即，

则，

又二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．