Question

如图，在三棱柱中，平面，点是的中点，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明证得平面，由此证得平面平面.

（2）解法一：利用等体积法计算出点到平面的距离；解法二：在平面内，过作，证得就是点到平面的距离，利用等面积法求得点到平面的距离.

（1）证明：∵平面，平面，∴，

∵，是的的中点，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（2）解法一∵平面，∴是三棱锥的高，

且，

由（1）及已知得是腰长为1的等腰直角三角形，

，

∴，

又，所以，

由（1）得平面，平面，∴，

∴，设点到平面的距离为，

由，得，

∴因此，点到平面的距离为.

解法二：由（1）平面平面，平面平面，

在平面内，过作，则平面，故就是点到平面的距离，

∵平面，∴在中，.

利用等面积得，

因此，点到平面的距离为.