Question

已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线上的任意一点作抛物线的切线，交抛物线的准线于点.在轴上是否存在一个定点，使以为直径的圆恒过.若存在，求出的坐标，若不存在，则说明理由.

Answer

（1）（2）存在一个定点，使以为直径的圆恒过

【解析】

（1）利用抛物线的定义，结合，求得，由此求得抛物线的方程.

（2）首先假设存在一个，使以为直径的圆恒过.设出切线的方程，利用导数建立切线斜率的等量关系式，结合，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得点的坐标，由此证得存在点符合题意.

（1）由抛物线定义知，又，

∴，解得，

∴抛物线的方程为.

（2）存在一个，使以为直径的圆恒过.

由（1）得抛物线为，准线方程为.

依题意切线斜率一定存在且不为0，设切线方程为.

设定点为，，，

∵，∴切线斜率，又，

∵，∴，解得.

以为直径的圆恒过定点等价于.

∴，.

∴恒成立.

∴且，解得，存在一个定点，使以为直径的圆恒过.