Question

设函数，，，

（1）求在处的切线的一般式方程；

（2）请判断与的图像有几个交点?

（3）设为函数的极值点，为与的图像一个交点的横坐标，且，证明：.

Answer

（1）（2）与的图像有2交点（3）证明见解析

【解析】

（1）利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.

（2）构造函数，利用导数研究的单调区间和零点，由此判断与的图像的交点个数.

（3）结合（2）以及题意得到，化简得到，利用放缩法以及取对数运算，化简证得成立.

（1）由得切线的斜率为，切点为.

∴切线方程为：，

∴所求切线的一般式方程为.

（2）令由题意可知，的定义域为，

且.

令，得，由，得，可知在

内单调递减，

又，且，

故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，

则，当时，，∴在内单调递增；

当时，，∴在内单调递减，

因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，

∴当时，，即，

从而，

又因为，∴在内有唯一零点，

又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

所以与的图像有2交点；

（3）由（2）及题意，即

从而，即,

∵当时，，又，故,

两边取对数，得，

于是，整理得，命题得证.