Question

已知函数，为常数，且.

（1）证明函数的图象关于直线对称；

（2）当时，讨论方程解的个数；

（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.

Answer

（1）略；（2）当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；（3）只有是二阶周期点.

【解析】

（1）根据函数对称的性质即可证明函数的图像关于直线对称。

（2）当时，求出的表达式，利用数形结合得到结论。

（3）根据阶周期点的定义，分别求满足条件的，即可得到结论。

（1）证明：设点为上任意一点，则

所以，函数的图像关于直线对称。

（2）当时

，

所以，当时，方程有个解；时，方程有个解；当时，方程有个解；当时，方程有个解。

综上：当或时，方程有个解；当时，方程有个解；当时，方程有个解。

（3）因为 ，

所以当，

若，即，

若，即 ，

当，同理可得：

时，；

时，.

所以 ，

从而由得 ，

又 ，

，

，

所以只有是二阶周期点。