Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，，E，F分别是棱PC，AB的中点.

（1）求证：平面PAD；

（2）若，求直线EF与平面PAB所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）取PD中点M，连接AM，ME，可证明出，即有，根据线面平行的判定定理，即可证出平面PAD；

（2）连接AC，BD交于点O，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，由线面角的向量公式即可求出．

（1）取PD中点M，连接AM，ME，

因为E，M分别是棱PC，PD的中点，

所以，，

因为F是AB的中点，且，

所以，且，即.

故四边形AFEM是平行四边形，从而有.

又因为平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD.

（2）连接AC，BD交于点O，连接OP，

由题意得平面ABCD，，

以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则，

，

，

设平面PAB的法向量为.

由得

可取，得.

设EF与平面PAB所成的角为，

所以，

即直线EF与平面PAB所成角的正弦值为．