Question

在三棱柱中，与均为等边三角形，，O为BC的中点.

（1）证明：平面平面ABC；

（2）在棱上确定一点M，使得二面角的大小为.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）要证明平面平面ABC，只需证明平面ABC即可．因为为等边三角形，所以再根据勾股定理证明，即可证出平面ABC；

（2）以OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，根据向量共线定理用参数表示出点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式列式，即可求出参数，确定的位置．

（1）因为与均为等边三角形，，O为BC的中点，

所以.

在中，，

从而有，所以，

又因为，所以平面ABC，

又因为平面，所以平面平面ABC．

（2）以OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则，

，由（1）可知，平面，

是平面的一个法向量，

设，其中.

所以

，，

设平面的法向量为，

则

取，则，

所以，

解得.

即存在一点M，且时，二面角的大小为.