Question

焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）存在满足条件,详见解析

【解析】

（1）根据所给条件列出方程组，求解即可。

（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出、、，则可求。

【解析】
（1）由已知可得，解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）若直线的斜率不存在时，，，

所以；

当斜率存在时，设直线的方程为，，．

联立直线与椭圆方程，消去y，得，

所以．

因为，设直线的方程为，

联立直线与椭圆方程，消去，得，解得．

，

，

同理，，

因为，

，故，存在满足条件，

综上可得，存在满足条件．