Question

如图，正方体中，M，N，E，F分别是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB．

Answer

见解析

【解析】证明：如图所示，连接B1D1，NE，

∵M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，

∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，

又∵MN⊄面EFDB，EF⊂面EFDB，∴MN∥面EFDB.

∵在正方形A1B1C1D1中，N，E分别是棱A1D1，B1C1的中点，

∴NE∥A1B1且NE=A1B1，又∵A1B1∥AB且A1B1=AB，

∴NE∥AB且NE=AB，∴四边形ABEN是平行四边形.

∴AN∥BE，又∵AN⊄面EFDB，BE⊂面EFDB，∴AN∥面EFDB.

∵AN⊂面AMN，MN⊂面AMN，且AN∩MN=N，

∴平面AMN∥平面EFDB.