Question

已知抛物线，在x轴正半轴上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，O两点.

（1）设，证明：抛物线在点P，Q处的切线方程的交点N与点M关于原点O对称；

（2）通过解答（1），猜想求过抛物线上一点（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明.

Answer

（1）证明见解析 （2）证明见解析

【解析】

（1）先求函数的导函数，再求抛物线在点P、Q处的切线方程，然后求两直线的交点坐标即可得证；

（2）先由（1）猜想切线方程为直线，再利用导数求曲线在某点处的切线方程即可得证.

（1）当时，点，

由得，

故或，

所以在点P处的切线方程为，

即，

在点Q处的切线方程为，

即，

由得交点，

所以交点N与M关于原点O对称.

（2）过点作与x轴垂直的直线交x轴于点，

作点M关于原点对称的点，

猜想切线方程为直线，

即，其中,

由得，

或,

所以在点处的切线斜率为或,

故点处的切线方程为:

或,

由得或,

所以在点处切线方程为,

整理得，

即.