Question

如图，三棱柱中，四边形是矩形，是的中点，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的平面角的大小．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）先由已知面面垂直证明平面，得，再在矩形中由勾股定理逆定理证明，从而可得线面垂直；

（2）由（1）知，，两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，用向量法求二面角．

【解析】
（1）证明：∵平面平面，

平面平面，

又由四边形是矩形知，，平面，

∴平面，

∵平面，

∴．

在中，，，

∴，

即，又，

∴平面．

（2）由（1）知，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，

设为平面的法向量，

则，即，

令，得，即，

取为平面的一个法向量，

∴，

∴锐二面角的平面角的大小是．