Question

如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米，紫龙卧雪30元/米，朱砂红霜40元/米.

（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；

（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.

Answer

（1），其中，.（2）当时，日效益总量可取得最大值.

【解析】

（1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益．

（2）利用导数可求得日收益的最大值．

（1）依题意得，，则

，其中，.

（2），

令，得，

当，，当时，，

所以，是函数的极大值点，且唯一；

从而当时，日效益总量可取得最大值.