Question

在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析.

(2) .

【解析】

试题（1）连接相交于点,取的中点为,连接，易证四边形是平行四边形，从而可得结论；（2）以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量，根据公式即可求出.

试题解析：

(1):连接相交于点,取的中点为,连接.

是正方形,是的中点,,

又因为,所以且,

所以四边形是平行四边形,

,又因为平面平面

平面

(2)是正方形,是直角梯形,,

,平面,同理可得平面.

又平面,所以平面平面,

又因为二面角为60°，

所以,由余弦定理得,

所以，因为半面，

,所以平面,

以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则,

所以,

设平面的一个法向量为,

则即令，则，

所以

设直线和平面所成角为，

则