Question

已知函数，.

（1）当时，试讨论方程的解的个数；

（2）若曲线和上分别存在点，，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出导函数，由导函数确定函数的单调性，作出函数的大致图象，通过图象确定方程解的个数；

（2）设，，由，，，题意说明，代入得，化简后有，从而，只要求得（）的值域即得的范围．

（1）当，，；

又的定义域为；

当时，恒成立.

所以，在上单调递减，在也单调递减，图象如图所示.

因此，当即时，方程无解；

当即时，方程有唯一解.

（2）设，，，，

则，，∴.

，，

由题意，，即

，

∴，

∵，

∴，

则.

设，则，

∵，

∴，

即函数在上为增函数，

则，

即.

∴实数的取值范围是.