Question

如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；

（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；

（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.

（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系

则，，，，，

，

（2）由（1）知：，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一个法向量为

设平面的法向量

则，令，则，

二面角的正弦值为

（3）由（1）知：，

设，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一个法向量为

设为直线与平面所成角

则，解得：

则 ，即的长为