Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＞0，前n项和为S_n，若（n∈N^*，且n≥2）．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）记，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．

【解析】

（1）根据题意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，结合分析可得1，则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得1+（n﹣1）＝n，则Sn＝n2，据此分析可得答案；

（2）由（1）的结论可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；进而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由错位相减法分析可得答案．

（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N*，且n≥2）①

，（n∈N*，且n≥2）②

①÷②可得：1，

则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，

则1+（n﹣1）＝n，

则Sn＝n2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，

a1＝1也符合该式，

则an＝2n﹣1；

（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，

则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；

则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；

则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；

③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，

变形可得：Tn．