Question

设函数．

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若对任意的，成立，求的取值范围．

Answer

（1）答案不唯一，见解析 （2）

【解析】

（1）先对函数求导，结合为偶函数，问题可转化为先研究，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求，

（2）结合导数先判断函数的单调性，结合零点判定定理可求．

（1），

令，，为偶函数，先研究，

则，，

在为递增函数，

且，，即在为单调递增函数，

当，即，没有零点，

当，即，有1个零点，

当，即，，

当，，

当，在有1个零点，

为偶函数，在也有有1个零点．

综上：，没有零点；，有1个零点；，有2个零点．

（2）,

①当时，由（1）知，在为单调递增函数，，

②当时，，，

由零点存在性定理知使得，

且在，，即单调递减，与题设不符．

综上可知，时，.