Question

已知为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义.

（1）；

（2）若，则.

Answer

（1）证明见解析，几何意义是矩形的两条对角线相等，（2）证明见解析，几何意义是菱形的对角线互相垂直

【解析】

（1）利用向量模的求法求出，，再利用向量的数量积即可证出

；然后由，两边平方即可证出.

（2）先利用数量积可证出，然后，可证出.

证明：（1）先证

因为，所以，于是

再证.

由，两边平方得，

所以，于是.

几何意义是矩形的两条对角线相等。

（2）先证.

又，所以.

所以.

再证，

由得。

即，

所以，

几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.