Question

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

Answer

（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.

【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．

（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．

所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．

由题意可得，，，由于 ，，

所以，，

，

即，

设，则，由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L取得最大值为米．