Question

已知函数f（x）=sinxcosx+cos²x-．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z（Ⅱ）[，1]

【解析】

（Ⅰ）先化简f（x），根据三角形的函数的最小正周期的定义和函数的图象和性质即可求出，

（Ⅱ）根据图象的变换可得g（x），求出g（x）的值域即可求出k的范围．

（Ⅰ）f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∴函数f（x）的最小正周期为T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

故函数f（x）的单调递增区间为+kπ，+kπ]，k∈Z，

（Ⅱ）将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到g（x）=sin（x+），

∵0≤x≤,∴≤x≤，

∴≤sin（x+）≤1，

∴≤g（x）≤1

∴关于x的方程g（x）-k=0，在区间[0，]上有实数解，

即图象g（x）与y=k，有交点，

∴≤k≤1，

故k的取值范围为[，1]．