Question

在直角坐标系中，圆的方程为.

（1）若圆上有两点，关于直线对称，且，求直线的方程；

（2）圆与轴相交于，两点，圆内的动点使，，成等比数列，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）根据，关于直线对称，可以求出直线的斜率，这样设出直线方程，利用圆的垂径定理、点到直线的距离公式，可以求出直线的方程；

（2）求出，两点坐标，设，由等比数列的性质，可得等式，最后求出的表达式，再根据点在圆内，最后求出的取值范围.

（1）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为2，设直线的方程为：，因为的半径为2，，所以圆心到直线的距离为：，因此有：，所以

：，.

（2）易知，.设，由，，成等比数列，得，两边平方得，即.

∴.

由于点在圆内，∴.又，∴，得.

∴的取值范围为.