Question

△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a（cosB+cosC）＝b+c．

（1）求证：A；

（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．

Answer

(1) 见解析(2) （4，2+2]

【解析】

（1）根据余弦定理求得cosB，和cosC代入题设等式中，整理得（b+c）（a2﹣b2﹣c2）＝0进而求得a2＝b2+c2．判断出A．

（2）根据直角三角形外接圆的性质可求得a，进而求得b+c的表达式，进而根据B的范围确定b+c的范围，进而求得三角形周长的范围．

【解析】
（1）证明：∵a（cosB+cosC）＝b+c

∴由余弦定理得a•a•b+c．

∴整理得（b+c）（a2﹣b2﹣c2）＝0．

∵b+c＞0，∴a2＝b2+c2．故A．

（2）∵△ABC外接圆半径为1，A，∴a＝2．

∴b+c＝2（sinB+cosB）＝2sin（B）．

∵0＜B，∴B，∴2＜b+c≤2．

∴4＜a+b+c≤2+2，

故△ABC周长的取值范围是（4，2+2]．