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如图,已知点F为抛物线C:()的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,...

如图,已知点F为抛物线C)的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于MN两点,且当直线l的倾斜角为45°时,.

1)求抛物线C的方程.

2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PMPN关于x轴对称?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

 

(1)(2)存在唯一的点,使直线PM,PN关于x轴对称 【解析】 (1)当直线l的倾斜角为45°,则的斜率为1,则直线方程为,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理可得,根据焦点弦公式,求出的值,即可得到抛物线方程. (2)假设满足条件的点P存在,设,当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为(),联立直线与抛物线方程,消元,列出韦达定理,因为直线PM,PN关于x轴对称,所以,即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时,由抛物线的对称性,易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可. 【解析】 (1)当直线l的倾斜角为45°,则的斜率为1, ,的方程为. 由得. 设,,则, ∴,, ∴抛物线C的方程为. (2)假设满足条件的点P存在,设,由(1)知, ①当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为(), 由得, , ,. ∵直线PM,PN关于x轴对称, ∴,,. ∴, ∴时,此时. ②当直线l与x轴垂直时,由抛物线的对称性, 易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可. 综上,存在唯一的点,使直线PM,PN关于x轴对称.
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考点分析:
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如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCDEAD的中点,ACBE相交于点O.

1)证明:平面ABCD.

2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

 

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某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.

购买金额(元)

人数

10

15

20

15

20

10

 

1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

 

不少于60

少于60

合计

 

40

 

18

 

 

合计

 

 

 

 

2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数(元)的分布列并求其数学期望.

附:参考公式和数据:.

附表:

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

 

 

 

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,向量.

(1)试问数列是否为等差数列?为什么?

(2)求数列的前项和.

 

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三个条件中任选一个补充在下面问题中,并加以解答.

已知的内角ABC的对边分别为abc,若______,求的面积S.

 

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在正方体中,E为棱CD上一点,且F为棱的中点,且平面BEF交于点G,与交于点H,则____________.

 

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