Question

已知函数，函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，.

（3）证明：当时，.

Answer

（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.

（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.

（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.

（1）【解析】
的定义域为，，

当，时，，则在上单调递增；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；

当，时，，则在上单调递减；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：设函数，则.

因为，所以，，

则，从而在上单调递减，

所以，即.

（3）证明：当时，.

由（1）知，，所以，

即.

当时，，，

则，

即，

又，

所以，

即.